Algunas consideraciones sobre la aplicación de la derivada

1)   Una pendiente infinita es simplemente una línea vertical. Al dibujarla en un gráfico de línea, una pendiente infinita es una línea que corre paralela al eje y. También se puede describir como cualquier línea que no se mueva a lo largo del eje x, pero que permanezca fija en un constante eje de coordenadas x, haciendo el cambio a lo largo del eje x 0.

2)   Atendiendo a la definición  del concepto de curva suave, la cual se define como aquella  curva que no posee ángulos o aristas. En virtud de lo anterior considero esta condición una factor que determina que en cada punto de la curva la pendiente resulta ser finita, puesto que se trata de una curva y NO de una línea vertical.

3)   Definición de curva suave: Se dice que una curva C, representada por c(t) en un intervalo I, es suave, si x’(t) , y’(t) , z’(t) son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. Se dice que la curva C es suave a trozos si es suave en cada subintervalo de alguna partición de I. En otras palabras, se le llama curva suave a la curva que no posee ángulos o aristas.

Curva diferenciable: En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

Fuentes:

Varios autores, ¿Qué es una pendiente infinita?,  Consultado en: http://www.ehowenespanol.com/pendiente-infinita-hechos_43935/

Varios autores, CURVA, Consultado en: https://es.wikipedia.org/wiki/Curva