Grupos y Espacio vectorial

Un grupo es un conjunto combinado con una operación que cumple con lo siguiente:

1. El grupo tiene un elemento neutro

Si usamos la operación con el elemento neutro y otro elemento, siempre nos devuelve el otro elemento. Para los enteros y la suma, el elemento neutro es "0" porque 5+0 = 5 y 0+5 = 5

2. El grupo tiene inversos

Si tomamos cualquier elemento en el grupo, hay otro elemento que cumple que al usar la operación con ellos, obtenemos e, la identidad.

Los inversos son únicos. Por ejemplo, no existe ningún otro número x que cumpla que 5 + x = 0 aparte de -5.

3. La operación es asociativa

Sólo significa que no importa el orden en que hacemos varias operaciones encadenadas.

a * (b * c) = (a * b) * c

4. El grupo es cerrado con respecto a la operación.

Si tenemos dos elementos en el grupo, a y b, se tiene que cumplir que a*b está en el grupo. Esto es lo que significa cerrado. Se dice cerrado porque hacer operaciones no te saca del grupo.

Igual que antes, los enteros y la suma cumplen esto. Si x e y son enteros, x + y = z, y entonces z también es entero.

Ejemplo 1: Suma y {0}

Bueno, este ejemplo es un poco raro. Vamos a ver los cuatro pasos de todas maneras. Busquemos la identidad. Bueno, eso es fácil. Si sumamos 0 a cualquier cosa en el grupo, sale 0, porque es el único elemento que existe. Es decir, 0 + 0 = 0, y ya tenemos la identidad.

Ahora necesitamos encontrar inversos. Bueno, sólo tenemos un elemento. ¿Cuál es el inverso de 0? Queremos que 0 + 0^-1 = 0. Bien, 0 + 0 = 0, así que 0^-1 = 0. Como esos eran todos los elementos, ya está.

¿Asociativa? ¿a + (b + c) = (b + c) + a? Bueno, como sólo hay un elemento, a = b = c = 0. ¿Es verdad que 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0? Claro.

Finalmente, ¿es cerrado? Si tomamos cualesquiera elementos a y b, ¿a + b está en el grupo? Cómo sólo hay un elemento, a = 0 y b = 0. ¿Está 0 + 0 en el grupo? Claro que sí. Así que es cerrado.

Así que {0} es un grupo con respecto a la suma.

ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorial es un conjunto constituido por un número infinito de vectores, para los cuales se han definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, y además están definidos sobre un determinado campo k

Para que un determinado conjunto sea un espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes 10 axiomas:

Sean V un determinado conjunto; y u, v, w vectores que ∈ V.

1. Cerradura para la suma: u + v ∈V

2. Propiedad conmutativa de la suma: u + v = v + u

3. Propiedad asociativa de la suma: u + (v + w) = (u + v)+ w

4. Existencia de vector neutro e : e + u = u → por la izquierda u + e = u → por la derecha

5. Existencia de inversos aditivos z : z + u = e → por la izquierda u + z = e → por la derecha

6. Cerradura para la multiplicación: αu ∈V

7. Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: α(u + v) = αu + αv

8. Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: (α + β)u = αu + βu

9. Propiedad asociativa de la multiplicación: α(βu) = (αβ)u 10. Existencia de unicidad: 1⋅u = u

Ejemplo:

El conjunto de las funciones continuas definidas en ℜ: Se pueden sumar dos funciones, y se puede multiplicar una función por un escalar real.

Por ejemplo, las funciones f(x)=x2  y g(x)=log(x) pueden sumarse y resulta otra función h(x)=x2 +log(x).

La función g(x)=log(x) puede multiplicarse por el escalar λ y resulta la función k(x)=λ log(x).

Si sumamos dos funciones continuas, el resultado es otra función continua.  Si multiplicamos una función continua por un escalar, el resultado es otra función continua.

Las operaciones cumplen las propiedades requeridas.  El vector 0 es la función constante 0.  Por tanto se trata de un espacio vectorial real.

Fuentes:

LÓPEZ ACOSTA, Norma Patricia, GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales, Consultado en: http://www.dcb.unam.mx/users/normapla/Guia%20TEMA%202%20(Espacios%20Vectoriales).pdf

Varios autores, Introducción a los grupos [Archivo de texto] Recuperado en: http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/grupos-introduccion.html, 08/12/2016, 0:19.