Un
grupo es un conjunto combinado con una operación que cumple con lo siguiente:
- El grupo tiene un elemento neutro
Si usamos la operación con el elemento neutro
y otro elemento, siempre nos devuelve el otro elemento. Para los enteros y la
suma, el elemento neutro es "0" porque 5+0 = 5 y 0+5 = 5
- El grupo tiene inversos
Si tomamos cualquier elemento en el grupo, hay otro
elemento que cumple que al usar la operación con ellos, obtenemos e, la identidad.
Los inversos son únicos. Por ejemplo, no
existe ningún otro número x que cumpla que 5 + x = 0 aparte de -5.
- La operación es asociativa
Sólo significa que no importa el orden en que
hacemos varias operaciones encadenadas.
a * (b * c) = (a * b) * c
- El grupo es cerrado con
respecto a la operación.
Si tenemos dos elementos en el grupo, a y b,
se tiene que cumplir que a*b está en el grupo. Esto es lo que significa
cerrado. Se dice cerrado porque hacer operaciones no te saca del grupo.
Igual que antes, los enteros y la suma
cumplen esto. Si x e y son enteros, x + y = z, y entonces z también es entero.
Ejemplo 1: Suma y {0}
Bueno, este ejemplo es un poco raro. Vamos a
ver los cuatro pasos de todas maneras. Busquemos la identidad. Bueno, eso es
fácil. Si sumamos 0 a cualquier cosa en el grupo, sale 0, porque es el único
elemento que existe. Es decir, 0 + 0 = 0, y ya tenemos la identidad.
Ahora necesitamos encontrar inversos. Bueno,
sólo tenemos un elemento. ¿Cuál es el inverso de 0? Queremos que 0 + 0-1 = 0. Bien, 0 + 0 = 0, así que 0-1 = 0. Como esos eran todos los
elementos, ya está.
¿Asociativa? ¿a + (b + c) = (b + c) + a?
Bueno, como sólo hay un elemento, a = b = c = 0. ¿Es verdad que 0 + (0 + 0) =
(0 + 0) + 0? Claro.
Finalmente, ¿es cerrado? Si tomamos
cualesquiera elementos a y b, ¿a + b está en el grupo? Cómo sólo hay un
elemento, a = 0 y b = 0. ¿Está 0 + 0 en el grupo? Claro que sí. Así que es
cerrado.
Así que {0} es
un grupo con respecto a la suma.
ESPACIO VECTORIAL
Espacio vectorial es
un conjunto constituido por un número infinito de vectores, para los cuales se
han definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, y
además están definidos sobre un determinado campo k
Para que un
determinado conjunto sea un espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes
10 axiomas:
Sean V un determinado
conjunto; y u, v, w vectores que ∈ V.
1. Cerradura para la
suma: u + v ∈V
2. Propiedad
conmutativa de la suma: u + v = v + u
3. Propiedad
asociativa de la suma: u + (v + w) = (u + v)+ w
4. Existencia de
vector neutro e : e + u = u → por la izquierda u + e = u →
por la derecha
5. Existencia de
inversos aditivos z : z + u = e → por la izquierda u + z = e →
por la derecha
6. Cerradura para la
multiplicación: αu ∈V
7. Propiedad
distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: α(u + v) = αu + αv
8. Propiedad
distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: (α + β)u = αu + βu
9. Propiedad
asociativa de la multiplicación: α(βu) = (αβ)u 10. Existencia de unicidad: 1⋅u = u
Ejemplo:
El conjunto de las
funciones continuas definidas en ℜ: Se pueden sumar dos funciones, y se
puede multiplicar una función por un escalar real.
Por ejemplo, las
funciones f(x)=x2 y g(x)=log(x) pueden
sumarse y resulta otra función h(x)=x2 +log(x).
La función
g(x)=log(x) puede multiplicarse por el escalar λ y resulta la función k(x)=λ
log(x).
Si sumamos dos
funciones continuas, el resultado es otra función continua. Si multiplicamos una función continua por un
escalar, el resultado es otra función continua.
Las operaciones
cumplen las propiedades requeridas. El
vector 0 es la función constante 0. Por
tanto se trata de un espacio vectorial real.
Fuentes:
